《自旋：从唯象到原理》
引言 先从会算的地方开始
“电子有自旋。”这句话很短，后面却常跟着一串来不及消化的新名词：泡利矩阵、旋量、狄拉克方程。若只背住结论，我仍会追问：为什么要把原来的量子态写成两行？磁铁转一个方向，为什么测量结果仍只有两种？两行后来又怎么变成四行？
写这本书，我想沿着这些问题走一遍，而不是先请读者接受一长串定义。我们已经有几块结实的起点：向量、矩阵、特征值，以及薛定谔方程描述量子态变化的基本意思。用这些工具，我们先看实验留下了什么难题；再看一种能算的描述怎样建立；最后问，这种描述能否从更广的电子理论里重新出现。
书名里的“唯象”，不是说泡利的工作只是随手补丁。它指一种认真而有力量的做法：先把可靠的现象组织成可计算的规律。所谓“原理”，也不是宣布追问已经永远结束，而是在更广的条件下解释这套规律为什么会出现。至于自旋在今天的技术里能做什么，我们会在主要问题讲清以后，走一小段路看看。
第一章 从量子测量到自旋之问
一束原子穿过磁场，在后面的屏幕上留下两道痕迹。为什么是两道？如果你只知道原子可以有不同位置、不同速度，这个数目不会自己跳出来。
要弄清这件事，不妨先把脚放在我们已经认识的地面上：量子态、薛定谔方程，以及测量。
1 方程告诉我们什么，测量又问什么
在最熟悉的量子力学问题里，我们用波函数描述粒子的状态。写成 $\psi(\mathbf r,t)$，意思是在每个位置 $\mathbf r$、每个时刻 $t$，都有一个用来计算测量结果的数。薛定谔方程负责告诉我们：给定初始状态，它以后怎样变化。
但“状态怎样变化”和“仪器会读到什么”是两个问题。想象一台只测某个物理量的仪器。在数学上，我们用一个算符表示它问的问题。如果一个状态被这个算符作用后，只是变成了原来的若干倍，这个倍数就是可能的测量结果。在线性代数里，你已经见过这件事：
$$A\mathbf v=\lambda\mathbf v.$$
$\mathbf v$ 是特征向量，$\lambda$ 是特征值。量子测量借用了这种结构：特征值告诉我们可能读到哪些数；一般状态还可以由不同特征向量组合而成，于是测量结果带有概率。这个说法先不涉及仪器内部复杂的工作过程，已经足够让我们提出本书第一个问题：若一种测量稳定地只有两个结果，描述它的状态需要多添什么？
原来那个只随空间位置变化的波函数，主要记录电子在哪里、怎样运动。它本身没有单独的一栏，记电子面对不同方向的磁性测量时会落入哪一种结果。要看见这个缺口，先到实验现场去。
2 银原子束留下了两道痕迹
1922 年，施特恩和格拉赫让一束中性银原子穿过不均匀的磁场。磁场对有磁矩的原子施力，原子飞行的路径因此偏转。如果把磁矩想成可以朝任意方向指向的经典小磁针，屏幕上的痕迹应当在一定范围内连续铺开。实验留下的却是分开的两束。
请留意实验对象：它是银原子束，不是自由电子束。施特恩和格拉赫当时也还没有“电子自旋”这个后来才建立的解释。他们要检验的是旧量子论中的空间量子化。今天我们知道，银原子外层有一个未配对电子；这个电子的自旋对银原子的磁矩至关重要。两束痕迹因而成为讲自旋时很好的入口，但不能把后来的解释倒写进 1922 年实验者的笔记里。
屏幕上的两道痕迹也没有直接把一套完整理论交给我们。它们先告诉我们：用连续可转的小磁针来想象这次测量，不够。沿磁场选定的方向，系统表现出离散的两种可能。接下来的问题才是，怎样把这种“两种”写进量子态，使它不只解释这一张屏幕，还能预测换一个测量方向会发生什么。
图 1 实验观察与后来的理论解释分开呈现。
3 “自旋”不是一颗小球在打转
后来，乌伦贝克和古兹米特提出电子有一种自身携带的角动量，我们把它叫作自旋。名字容易让人想到一个小球绕着自己的轴转。这个画面有一点用：它提醒我们，电子的这种性质同磁性和角动量有关。可画面到了这里就该停下。
电子不能被当成一颗已有确定表面的微型陀螺，再用球的半径和转速算出自旋。那样做会把经典物体的构造硬塞给量子粒子。我们要找的是：当电子接受某个方向的测量时，状态里有什么可计算的结构，而不是电子表面哪一点跑得最快。
这样回看最初的薛定谔方程，“失灵”也不是说方程突然算错了所有东西。没有写入自旋的版本仍然能处理许多运动问题；只是当问题开始追问电子的这项内部性质，它给出的状态不够用了。旧地图没有画出新街道，下一步要做的是扩充地图。两束实验痕迹指向的，正是那个尚未填写的位置。
第二章 泡利怎样用二分量描述自旋
如果沿 $z$ 方向测电子自旋，结果只有“上”和“下”两种；把仪器转向 $x$，仍然只有两种。方向可以不停地转，结果为什么不会跟着变成三种、四种？
泡利的办法，先不回答自旋究竟“是什么东西”。他做的是更务实的一步：既然测量给出这样的规律，就把状态和测量写成能计算的数学形式。对已经学过矩阵的读者，这一步并不神秘。
1 同一个位置，添上两项振幅
先暂时不管电子在空间中的哪一点，只问沿 $z$ 方向测自旋。约定两种确定结果分别记作 $+z$ 和 $-z$。一种最简单的写法是
$$\chi=\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix},\qquad |a|^2+|b|^2=1.$$
上面一行 $a$ 是得到 $+z$ 的概率幅，下面一行 $b$ 是得到 $-z$ 的概率幅。真正的概率是它们模的平方。例如 $a=1,b=0$，沿 $z$ 测量一定得到 $+z$；$a=b=1/\sqrt2$，两种结果各占一半。振幅可以是复数，所以写成两行并不只是把两个普通概率并排放在一起。以后换测量方向时，振幅之间的相位也会参与计算。
这里的“两行”不表示电子只在二维空间活动。若把位置重新放回来，完整的状态可以写成
$$\Psi(\mathbf r)=\begin{pmatrix}\psi_\uparrow(\mathbf r)\\\psi_\downarrow(\mathbf r)\end{pmatrix}.$$
电子仍可在三维空间里的任何位置出现；只是在每个位置，现在都要分别记录两种自旋结果的振幅。把这两行误看成 $x$、$y$ 空间坐标，就会错过泡利真正增加的东西。
为什么恰好用两行？在这里，我们描述的是电子的自旋 $1/2$，沿选定方向的自旋分量有两个可能的测量值，两种对应的状态足以张成这一部分的状态空间。光看 1922 年银原子屏幕上的两道痕迹，还不足以独自推出整套二维理论；这套描述也要经受换方向、重复测量等更多检验。
图 2 两项振幅附着在每个空间位置上。
2 沿 $z$ 的矩阵，从结果反推出来
我们已经选定：$(1,0)^T$ 表示 $+z$ 确定，$(0,1)^T$ 表示 $-z$ 确定。如果暂时把测量结果简记成 $+1$ 与 $-1$，那么读出它们的矩阵可以写成
$$\sigma_z=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}.$$
亲手乘一次就明白了：
$$\sigma_z\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}=+1\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix},\qquad \sigma_z\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}=-1\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}.$$
两个列向量都是特征向量，特征值正好是两种读数。电子自旋的实际角动量读数不是无单位的 $\pm1$，而是 $\pm\hbar/2$；因此真正的算符是 $S_z=(\hbar/2)\sigma_z$。这里 $\hbar=h/(2\pi)$，叫约化普朗克常数；它把我们简写的数字换成有角动量单位的物理量。先选测量方向和结果，再挑方便的基底，矩阵自然呈现对角形式。这不是一块神秘的表格凭空落下来。
可是空间没有理由只准我们沿 $z$ 提问。沿 $x$ 测量时，两个结果仍应是 $\pm\hbar/2$，但在已经选好的 $z$ 基底中，它们不该仍然由同一对列向量直接读出。一个满足要求的矩阵是
$$\sigma_x=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}.$$
它把 $(1,0)^T$ 变成 $(0,1)^T$，也把 $(0,1)^T$ 变回来。你可以把它看作：沿 $x$ 的问题，必须同时用到原来的上下两行。它自己的 $+1$ 特征向量是
$$|+x\rangle=\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}.$$
这意味着，一个沿 $x$ 确定为“上”的态，若改用 $z$ 仪器去测，会有一半概率得到 $+z$，一半得到 $-z$。
$y$ 方向还要与 $x$ 方向区别开来。只用实数交换两行不够；复数的相位在这里有了工作。记 $i^2=-1$，对应的矩阵是
$$\sigma_y=\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}.$$
三个矩阵都作用在同一支二分量态上。它们不是电子内部藏着三套不同的上下开关，而是我们沿三根互相垂直的轴，向同一个状态提出三种问题。矩阵里出现的 $i$ 也不是为了凑复杂度：它让 $y$ 方向与 $x$ 方向的测量在复振幅上有所区别。现在我们不必把转动的全部代数证明完，只要看到三根轴需要彼此协调，而不能各自随意发明一套两值表。
若想检查 $i$ 到底做了什么，可以把 $\sigma_y$ 乘在 $|+y\rangle=(1,i)^T/\sqrt2$ 上：结果仍是这个列向量；乘在 $(1,-i)^T/\sqrt2$ 上，结果变成它的负数。$y$ 的两种读数也因此是 $\pm1$。更有用的是，$x$ 的确定态 $(1,1)^T/\sqrt2$ 和 $y$ 的确定态 $(1,i)^T/\sqrt2$ 在同一个 $z$ 基底里长得不同：区别恰好在两行之间的相位。
这里还有一个线性代数上的理由，说明三个泡利矩阵为什么是合适的“方向积木”。任意一个不带整体偏移的厄米 $2\times2$ 矩阵，都可写成
$$M=u\sigma_x+v\sigma_y+w\sigma_z =\begin{pmatrix}w&u-iv\\u+iv&-w\end{pmatrix},$$
其中 $u,v,w$ 是实数。整体偏移只是给两个读数同时加上同一个数，不会帮我们区分自旋的上下。因此，在选定这种二值、对称的读数方式后，三个矩阵正好对应三个独立的方向；换基底可改变它们的外观，不改变能测到的结果。
3 磁铁斜过来，仍是两个结果
沿 $x,y,z$ 三根轴都能测，斜着放的磁铁当然也能测。设它指向单位方向 $\mathbf n=(n_x,n_y,n_z)$。既然这个方向由三根轴的分量组成，沿它提问的矩阵便是
$$\sigma_{\mathbf n}=n_x\sigma_x+n_y\sigma_y+n_z\sigma_z.$$
这个式子的关键，不是让读者立刻求出任意角度下的全部状态，而是看它究竟有几个特征值。先把三个矩阵按行列相加：
$$\sigma_{\mathbf n} =\begin{pmatrix} n_z&n_x-i n_y\\ n_x+i n_y&-n_z \end{pmatrix}.$$
要求特征值 $\lambda$，按线性代数的方法令 $\det(\sigma_{\mathbf n}-\lambda I)=0$。把二阶行列式乘开，第一步是 $(n_z-\lambda)(-n_z-\lambda)-(n_x-i n_y)(n_x+i n_y)=0$；整理后得到
$$\lambda^2-(n_x^2+n_y^2+n_z^2)=0.$$
方向向量的长度为一，括号里就是一，于是 $\lambda=+1$ 或 $-1$。同一个结论还可以从矩阵乘法看出：前面三个矩阵各自平方都是单位矩阵；不同矩阵的交叉项，正反两种次序相加恰好抵消。因此
$$\sigma_{\mathbf n}^{2}=I.$$
这两种算法相互印证。乘回 $\hbar/2$，沿任意方向测电子自旋，都只会得到 $+\hbar/2$ 或 $-\hbar/2$。转动仪器会改变两种结果的概率，不会凭空生出第三种结果。
这里要分清两句话。“结果始终只有两种”不等于“每次总是各占一半”。若电子已经沿 $z$ 准备成 $+z$，再沿 $z$ 测，必得 $+z$；改沿 $x$ 测，才是两边各一半；沿其他斜方向，比例可以是别的数。决定比例的是入射状态和测量方向之间的关系。
现在也能看出，不能把这里的测量简单想成读取一根不会改变的预设箭头。对 $+z$ 态，$z$ 的答案确定，$x$ 的答案却不确定；沿 $x$ 测量并选束后，后续所用的状态也变了。这组实验说明量子态怎样计算连续测量，并不需要在此裁定所有关于“测量前究竟存在什么”的解释。
图 3 方向影响两种结果的概率，不增加结果种类。
4 先确定，换方向，再分裂
准备一束沿 $z$ 测量后只保留 $+z$ 的电子。它的自旋态是 $(1,0)^T$。把 $x$ 的两个特征向量都写出来：$|+x\rangle=(1,1)^T/\sqrt2$，$|-x\rangle=(1,-1)^T/\sqrt2$。于是
$$|+z\rangle=\frac1{\sqrt2}|+x\rangle +\frac1{\sqrt2}|-x\rangle.$$
等号右边两项的系数，模平方各是 $1/2$。先把这束送进沿 $x$ 测量的装置，便是一半得到 $+x$，一半得到 $-x$。现在挡住 $-x$ 那支，只让 $+x$ 继续向前。关键是选出其中一支；如果把两支混在一起，我们就没有为下一步准备一个确定的 $+x$ 状态。
在 $z$ 基底里，选出的那支写作
$$|+x\rangle=\frac1{\sqrt2}|+z\rangle+\frac1{\sqrt2}|-z\rangle.$$
两个振幅的模平方都是 $1/2$。所以最后再沿 $z$ 测，这支原本沿 $z$ “确定为上”的来束，经一次 $x$ 测量和选束后，又分成 $+z$ 与 $-z$，各占选出那支的一半。若在中间继续测 $x$，则仍会确定得到 $+x$。
发生了什么？第一次 $z$ 测量准备了一个对 $z$ 问题有确定答案的状态。中途改问 $x$，并选出确定的 $+x$，等于准备了另一个状态。对它来说，$z$ 已不再确定。所谓“确定后又分裂”，不是电子忘性大，而是我们把提问的方向换了，准备的状态也随之改变。
这组 $z\rightarrow x\rightarrow z$ 是帮助理解自旋 $1/2$ 的理想化连续测量。它不等于施特恩和格拉赫在 1922 年亲手做过三台装置串联的自由电子实验。把实验史与理论演示分开，数学才不会借历史故事偷走它没有得到的证据。
泡利的二分量办法已经回答了很具体的问题：为什么需要两行、为什么换方向仍只有两种结果、为什么连续测量能出现“确定—分裂—再分裂”。它也能把自旋与磁场的作用放进电子方程中，计算许多低速现象。但我们仍可追问：为什么电子的量子态恰好允许这样的内部结构？为什么这套描述只在一定条件下够用？两行账写得越清楚，这两个问题也越清楚。
图 4 中间选出的 +x 束再测 z 时，两个结果各占保留束的一半。
第三章 为什么还要寻找新的电子方程
泡利把自旋放进了量子态，还能算磁场里的电子。若这套办法已经有效，狄拉克为什么仍要寻找一个新方程？答案先不在自旋里，而在电子的速度里。
1 先看薛定谔方程用了哪一种能量
读者熟悉的薛定谔方程可以写成
$$i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t} =\left(-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V\right)\psi.$$
左边说量子态怎样随时间变化；右边的第一项代表动能，$V$ 代表势能。若暂时没有势能，动能对应 $E_{\rm kin}=p^2/(2m)$。这正是低速力学的公式，和 $p\approx mv$、$E_{\rm kin}\approx mv^2/2$ 是同一层近似。
狭义相对论要求更完整的能量关系，式中的 $c$ 是光速：
$$E^2=p^2c^2+m^2c^4. \tag{3.1}$$
这里 $E$ 包括静止能量。只看正能量，可先写成 $E=mc^2\sqrt{1+p^2/(m^2c^2)}$。当 $p$ 远小于 $mc$，括号里的新增部分很小；用大一微积分中的 $\sqrt{1+\varepsilon}\approx1+\varepsilon/2$，它近似为
$$E=\sqrt{p^2c^2+m^2c^4} \approx mc^2+\frac{p^2}{2m}.$$
所以旧动能公式并没有突然变错；它是低速时从更完整公式里留下的部分。固定的 $mc^2$ 只会让波函数整体多一个随时间变化的相位，不改变这里关心的测量概率。泡利的二分量状态补上了自旋，但若运动仍按这条低速公式处理，问题只是被分成了两半：自旋能算，高速电子还没有妥善描述。
2 直接把相对论关系写成波动方程
从大一量子物理的语言看，能量和动量可以对应到作用在波函数上的运算：
$$E\longrightarrow i\hbar\partial_t, \qquad \mathbf p\longrightarrow -i\hbar\boldsymbol\nabla.$$
把它们代入式（3.1），并让等式作用在波函数 $\psi$ 上，得到
$$-\hbar^2\partial_t^2\psi =\left(-\hbar^2c^2\nabla^2+m^2c^4\right)\psi.$$
把各项移到一边，再除以 $\hbar^2c^2$，就是克莱因—戈登方程：
$$\boxed{\left(\frac{1}{c^2}\partial_t^2-\nabla^2+\frac{m^2c^2}{\hbar^2}\right)\psi=0.} \tag{3.2}$$
这里 $\partial_t^2$ 表示对时间求两次导数，$\nabla^2$ 是把三个空间方向的二阶导数加起来。虽然式子长了一些，它的来源只有一件事：把相对论的平方关系照量子规则改写。拿一个波形 $\psi\propto e^{i(\mathbf p\cdot\mathbf r-Et)/\hbar}$ 代进去，时间的两次导数给出 $-E^2/\hbar^2$，空间的两次导数给出 $-p^2/\hbar^2$；式（3.2）便重新变成式（3.1）。我们知道它至少在这项检验上走对了。
那为什么狄拉克不就此停笔？一个原因是：式（3.2）没有把电子所需的自旋 $1/2$ 结构带进来。还有一个与测量有关的麻烦。普通薛定谔波函数的 $|\psi|^2$ 可以作概率密度；若照相同想法，从克莱因—戈登方程构造守恒的密度，会得到
$$\rho_{\rm KG}=\frac{i\hbar}{2mc^2} \left(\psi^*\partial_t\psi-\psi\partial_t\psi^*\right).$$
不用记这个式子，只要把上面的波形代进去：它给出的密度正比于 $E|\psi|^2$。正能量分支是正的，负能量分支却是负的。一个概率不该有负值，因此若坚持原先那种单粒子概率解释，就遇到问题。这不表示克莱因—戈登方程是错误的；在后来的相对论性场论里，它有恰当的用途，这个守恒量也有不同的解释。它只是没有成为狄拉克要找的电子方程。
图 5 把能量和动量换成作用在波函数上的运算。
3 能否“开方”，又保住量子态
狄拉克想找一条对时间只求一次导数、对空间也只求一次导数的电子方程。这样，给定某时刻的量子态，仍能像薛定谔方程那样向后推算；而把新方程“平方”后，又应回到式（3.1）。
这里的“开方”比给一个数字开平方难。右边有三个方向的 $p_x,p_y,p_z$，还有质量项。如果试着把它们直接加在一起，平方时会生出 $p_xp_y$、$mp_x$ 这样的交叉项；式（3.1）里没有它们。要让交叉项消失，不能只挑四个普通数字作系数。矩阵乘法的先后次序，正好提供了新的可能。问题至此已经收紧：我们需要什么样的矩阵，才能让一阶方程平方后不多出任何不该有的项？
第四章 四分量方程怎样把自旋带进来
上一章把问题缩成了一道“开方”题：怎样写一个量子方程，动量只出现一次，平方后却给出 $E^2=p^2c^2+m^2c^4$？这道题可以一步步用读者熟悉的矩阵乘法来做。
1 先让不该出现的交叉项消失
狄拉克尝试把电子的能量算符写成
$$H_D=c(\alpha_xp_x+\alpha_yp_y+\alpha_zp_z)+\beta mc^2. \tag{4.1}$$
四个希腊字母暂时只是待定的矩阵。这里的 $p_x,p_y,p_z$ 是动量算符；先看动量确定的自由电子，可以暂把它们当作三个数来检查代数。若把式（4.1）平方，$p_x^2$ 前面是 $c^2\alpha_x^2$；想得到相对论要求的 $c^2p_x^2$，就要 $\alpha_x^2=I$。其他两个方向也一样，质量项要求 $\beta^2=I$。
再看一个交叉项。$p_xp_y$ 前面会出现
$$c^2(\alpha_x\alpha_y+\alpha_y\alpha_x)p_xp_y.$$
相对论能量关系没有这一项，所以括号里必须为零。动量与质量之间的交叉项同理。因此，一整套要求可以浓缩成
$$\alpha_i^2=\beta^2=I,\qquad \alpha_i\alpha_j+\alpha_j\alpha_i=0\ (i\ne j),\qquad \alpha_i\beta+\beta\alpha_i=0. \tag{4.2}$$
这些式子只说一件事：每个矩阵自己平方得到 $I$，不同矩阵相乘时，交换先后次序会变号。普通非零数字相乘可以换顺序，做不到后一条；矩阵可以。我们不是因为“矩阵很高级”才选它，而是被平方后的交叉项逼到了这里。
满足式（4.2）后，平方的结果正是 $H_D^2=(p^2c^2+m^2c^4)I$。右边的 $I$ 提醒我们：新方程作用在多行量子态上，而每一行都服从同一个相对论能量关系。
2 为什么两行不够，要四行
第二章的三个泡利矩阵已经满足很相似的规则：各自平方为 $2\times2$ 单位矩阵，不同两个相乘后交换次序会变号。它们似乎正好能当 $\alpha_x,\alpha_y,\alpha_z$。但式（4.1）还需要一个与它们三个都这样配合的 $\beta$。
能否再找第四个 $2\times2$ 矩阵？把任意一个厄米的 $2\times2$ 矩阵写成
$$M=aI+b_x\sigma_x+b_y\sigma_y+b_z\sigma_z.$$
这是线性代数中的基底展开：四个实数 $a,b_x,b_y,b_z$ 足以指定这种矩阵。若 $M$ 必须与 $\sigma_x$ 交换次序后变号，代入 $M\sigma_x+\sigma_xM=0$，便要求 $a=b_x=0$；对 $\sigma_y$ 和 $\sigma_z$ 做同样的事，又要求 $b_y=b_z=0$。最后只剩 $M=0$，而它的平方不可能是 $I$。所以，已有的三块 $2\times2$ 矩阵装不下第四块所需的结构。
一个可行的最小升级是 $4\times4$。不必把十六个格子逐一猜出来；直接用已经认识的泡利矩阵作积木：
$$\alpha_i= \begin{pmatrix}0&\sigma_i\\\sigma_i&0\end{pmatrix}, \qquad \beta= \begin{pmatrix}I&0\\0&-I\end{pmatrix}. \tag{4.3}$$
这里每个大格本身是 $2\times2$ 小矩阵，所以整体是 $4\times4$。你可以只验一项：$\beta\alpha_i$ 与 $\alpha_i\beta$ 的非零大格符号相反，相加正好为零。其他条件也能用第二章的泡利矩阵逐项检验。新的方程作用在四行量子态上，四分量便不是先被贴上标签的四种小球，而是这套矩阵运算需要的最少行数。
把能量和动量重新写成对波函数的运算，狄拉克方程的完整形式终于出现：
$$\boxed{i\hbar\frac{\partial\Psi}{\partial t} =\left[c\boldsymbol\alpha\cdot(-i\hbar\boldsymbol\nabla) +\beta mc^2\right]\Psi.} \tag{4.4}$$
$\Psi$ 有四个分量；$\boldsymbol\alpha\cdot\boldsymbol\nabla$ 是把 $x,y,z$ 三项加起来。式（4.4）左边像薛定谔方程一样，对时间只求一次导数；右边对空间也只求一次导数。由式（4.2）把右边平方，交叉项消失，自由电子的每个分量都满足上一章的相对论能量关系。
图 6 第四个矩阵所需的乘法规则把状态推向四分量。
3 把四行分成上下两块，低速时会怎样
为了看出泡利的两行怎样回来，把四分量分成上下两个二分量：$\Psi=(\phi,\eta)^T$。对一个能量确定的自由电子，可把时间变化写成 $e^{-iEt/\hbar}$；代入式（4.4），并使用式（4.3），得到两行相互联系的方程：
$$(E-mc^2)\phi=c(\boldsymbol\sigma\cdot\mathbf p)\eta, \qquad (E+mc^2)\eta=c(\boldsymbol\sigma\cdot\mathbf p)\phi. \tag{4.5}$$
这是本章最值得亲手读一遍的计算。第二行告诉我们
$$\eta=\frac{c\boldsymbol\sigma\cdot\mathbf p}{E+mc^2}\,\phi.$$
若电子动量远小于 $mc$，正能量 $E$ 接近 $mc^2$，分母便约为 $2mc^2$。于是
$$\eta\approx\frac{\boldsymbol\sigma\cdot\mathbf p}{2mc}\,\phi. \tag{4.6}$$
下块 $\eta$ 通常比上块 $\phi$ 小，但并非凭空删掉；它由上块近似决定。把式（4.6）放回式（4.5）的第一行，得
$$(E-mc^2)\phi\approx \frac{(\boldsymbol\sigma\cdot\mathbf p)^2}{2m}\phi =\frac{p^2}{2m}\phi. \tag{4.7}$$
最后一个等号用到泡利矩阵的乘法：三个自由动量分量可以交换，交叉项抵消，只留下 $p_x^2+p_y^2+p_z^2$。式（4.7）正是低速动能，却作用在二分量 $\phi$ 上。四行怎样回到两行，我们现在看见了一段实实在在的代数，而不是一句“低速时自然退化”。
4 磁场中的那一项，从哪里冒出来
只有自由电子时，式（4.7）里的两个自旋分量看上去没有差别。磁场让差别可见。把带电粒子与电磁场的作用放进方程，动量 $\mathbf p$ 要换成 $\boldsymbol\pi=\mathbf p-q\mathbf A$，能量还要加上 $q\Phi$。$q$ 是粒子电荷，对电子为负；$\Phi$ 是电势；$\mathbf A$ 是一种表示磁场的量，满足 $\mathbf B=\boldsymbol\nabla\times\mathbf A$。
照式（4.7）做相同的低速计算，会遇到 $(\boldsymbol\sigma\cdot\boldsymbol\pi)^2$。它与自由粒子的情形只差一点，却是关键的一点：磁场中不同方向的 $\pi$ 一般不能随便交换次序。以 $x,y$ 两项为例，用 $\mathbf p=-i\hbar\boldsymbol\nabla$ 和求导的乘法规则，先有 $[p_x,A_y]f=-i\hbar(\partial_xA_y)f$，其中 $f$ 是任意波函数；再把 $B_z=\partial_xA_y-\partial_yA_x$ 代入，可得
$$[\pi_x,\pi_y] \equiv\pi_x\pi_y-\pi_y\pi_x =iq\hbar B_z. \tag{4.8}$$
同一对交叉项因此不再完全消失。第二章的两个小矩阵直接相乘可验 $\sigma_x\sigma_y=i\sigma_z$、$\sigma_y\sigma_x=-i\sigma_z$，于是
$$\sigma_x\sigma_y\pi_x\pi_y +\sigma_y\sigma_x\pi_y\pi_x =i\sigma_z[\pi_x,\pi_y] =-q\hbar\sigma_zB_z.$$
把另外两对方向也加进来，得到
$$(\boldsymbol\sigma\cdot\boldsymbol\pi)^2 =\boldsymbol\pi^2-q\hbar\boldsymbol\sigma\cdot\mathbf B. \tag{4.9}$$
所以去掉固定静止能量后，低速电子的方程里出现
$$\boxed{H_{\rm Pauli} =\frac{\boldsymbol\pi^2}{2m}+q\Phi -\frac{q\hbar}{2m}\boldsymbol\sigma\cdot\mathbf B.} \tag{4.10}$$
前两项是带电粒子的低速运动与电势能；最后一项就是自旋和磁场的作用。把第二章的 $\mathbf S=(\hbar/2)\boldsymbol\sigma$ 代入，它成为 $-(q/m)\mathbf S\cdot\mathbf B$。若把磁矩定义为 $\boldsymbol\mu=g(q/2m)\mathbf S$，磁场能量写成 $-\boldsymbol\mu\cdot\mathbf B$，逐项比较便得到 $g=2$。这是这一层理论对点状电子给出的首要结果，精密测量与它的微小差别还涉及量子电动力学修正。
这段推导需要区分两句话。泡利的低速理论本身也可以在一定写法与前提下得到 $g=2$；我们不能说“泡利绝对算不出 2”。狄拉克方程更进一步的地方，是它从相对论性的电子方程出发，把四分量结构、低速二分量和磁场中的首要系数接在同一条推理线上。
图 7 低速时主要由二分量描述；磁场使自旋项出现。
5 四分量也不是“上半电子、下半正电子”
式（4.6）已经给出反例：一个运动中的正能电子，下块 $\eta$ 一般并不为零。它不是因为下块非零就混入了一点正电子。正、负能量解的区别，要看方程的解如何随时间变化，不能按四行所在的位置永久分配。
还有一条线索说明内部矩阵确实承担着角动量。若只数电子位置与动量构成的轨道角动量 $\mathbf L$，狄拉克方程中它不能单独保持；加上作用在四分量上的内部项 $\mathbf S=(\hbar/2)\operatorname{diag}(\boldsymbol\sigma,\boldsymbol\sigma)$，总角动量 $\mathbf J=\mathbf L+\mathbf S$ 才与转动对称性相合。这里的自旋不是从一颗会转的经典小球算出，而是方程对空间转动的回应。
对电子而言，“狄拉克比泡利更基本”现在有了可检查的含义：狄拉克理论覆盖更广的速度范围，在低速、正能等条件下给出泡利理论。它不宣称所有粒子都必须有自旋 $1/2$，也不是关于自旋的一切问题的终点。但那两行量子态为什么能在电子理论里出现，我们已经沿着式（4.1）到式（4.10）看见了关键步骤。
第五章 正电子：方程带来的新线索
一个新方程能把已知结果讲通，当然很好。更难忘的时刻是：它似乎还在说，自然界里有我们尚未见过的东西。
狄拉克方程正遇到了这样的时刻。第四章已经算出 $H_D^2=p^2c^2+m^2c^4$，所以自由电子的能量有两支：
$$E_\pm(\mathbf p)=\pm\sqrt{p^2c^2+m^2c^4}.$$
在动量为零时，它们分别从 $+mc^2$ 与 $-mc^2$ 开始。正、负两支不能简单用橡皮擦掉：它们是方程结构的一部分。四分量状态并非“上两项永久是电子、下两项永久是正电子”；能量的两支是由整个方程的解来区分的。
1 负能量为什么使人不安
先想象一个普通台阶：物体可以从高一级落到低一级，释放能量。若电子能一路落向越来越低的负能量，而且下面没有底，那么一个看似稳定的电子就会不停地往下落。这与我们所见的稳定物质不合。
这个比喻只指出麻烦，不能直接证明真实电子会这样坠落。量子理论里，“一个电子”“空着的状态”“怎样产生或消灭粒子”都需要说得更仔细。但它足以让我们理解，当年的物理学家为什么不会把负能解当成无关紧要的数学尾巴。
狄拉克曾尝试把所有负能状态想成已经被电子占满：平常看不见这片“海”，如果其中少了一个电子，那个空位在观察上会表现得像带正电的粒子。这就是历史上著名的“负能海”和“空穴”图像。它是当时为负能解寻找物理意义的尝试，不是今天必须相信宇宙里真有一片可触摸的电子海。
2 一个带正电、质量却像电子的粒子
如果电子有一种电荷相反而质量相同的伙伴，它应当怎样被找到？带电粒子穿过磁场会弯曲；弯曲的方向可以帮助判断电荷的正负，轨迹的其他特征则帮助判断它不像一个沉重的质子。
1932 年，安德森研究宇宙线留下的云室轨迹，找到了这样的正电粒子。后来它被称为正电子。实验没有拍到“负能海里一个空位”的照片；它确认的是自然界确实存在电子的反粒子。狄拉克方程引出的难题，与实验发现之间，由此建立起一种新的联系。
今天更妥当的说法是：在量子场论中，电子与正电子是相关的粒子与反粒子。要完整解释它们如何产生、湮灭以及为何负能解不造成无底坠落，需要超出本书读者起点的理论。我们在这里无需跨进那扇门，只要分清“历史上怎样理解”与“实验确认了什么”。
回头看自旋那条线，狄拉克原本为了解决电子与相对论如何相容的问题，建出了四分量方程。它在低速时接回泡利的自旋描述，也把负能解这个新难题带了出来。一个理论的力量，不只在于它能为旧数据作漂亮的总结，还在于它可能让我们认真寻找原来没有想过的现象。能否找到，仍要交给实验。
第六章 从现象走向原理，也可能反过来
我们一路问的是电子自旋，得到的却不止一个电子的答案。先看见实验的奇怪结果，再有一套能计算的描述，最后发现它可以从更广的方程中回来。物理学常这样前进吗？
有时是这样。但“先现象、后描述、再原理”并不是每次研究都必须踩完的三级台阶。正电子的故事已经给出另一种顺序：一个为解决既有矛盾而建立的方程，先在纸上留下陌生的可能，实验后来才找到对应的粒子。
1 先把天上的路径画准
几百年前，天文学家首先需要回答的是行星究竟怎样走。第谷积累了精密观测，开普勒从数据中提炼出行星沿椭圆轨道运动等规律。椭圆告诉人们“怎样走”，却还没有说清为什么会这样走。牛顿的运动定律与万有引力把这些规律放进一套更广的解释里。两物体之间的引力大小写成 $F=GMm/r^2$；结合运动定律和起始状态，便能在适当条件下推算出椭圆轨道。这个公式的作用，是给已有的轨道规律一个产生它的机制。
这不意味着开普勒的工作只是牛顿到来前的一块临时垫脚石。没有准确的规律，深一层理论很难知道自己必须解释什么；有了牛顿的理论，开普勒的规律也没有失去价值，在合适条件下依然简洁好用。它们回答不同层次的问题。
自旋的故事也有这样的层次。泡利的二分量理论让电子在磁场中的行为可以计算；狄拉克的电子方程给这套结构提供了更广的来历。泡利理论并不因此变成“错的”，它在低速问题里仍是合适的工具。
2 先有能用的描述，也要问它从哪里来
超导提供另一个例子。实验先显示：某些材料冷却到一定条件下，电流可以没有通常的电阻损耗。物理学家发展出能描述超导状态如何变化的理论，其中金兹堡—朗道理论用一个整体的量来刻画这种状态。后来，BCS 理论从电子配对的微观图像解释了许多常见超导现象。
这里也不能把不同理论压成一条必然胜利的时间线。描述整体行为的理论与解释微观机制的理论，各有适用范围；后来出现的解释往往还要接受新的材料、新的实验检验。我们从中学到的，不是给所有理论排一个永久的“深浅榜”，而是弄清每一层理论到底回答了什么问题。
3 数学先指出路，实验再判断
狄拉克追求的是让电子量子方程符合相对论。正电子不是从某台仪器的照片里先被认出来、再请数学家补写的；它作为理论难题和可能性先出现，实验随后给出关键回答。
杨—米尔斯理论也可以作为另一种很简短的提醒：物理学家有时从对称性等原则出发，写下看起来值得研究的理论结构。后来，这类结构成为现代粒子物理的重要语言。但仅仅觉得数学漂亮，不能替代对自然的检验；也不能把后来一整套理论和实验的成果，算作某一条早期方程独自完成的预言。
两条路实际上经常交错。实验中的异常迫使人改写概念；数学上的一致性又可能指出新的实验方向。自旋尤其能说明这种往返：屏幕上的两束没有直接写出泡利矩阵，泡利矩阵也没有自动写出狄拉克方程，狄拉克方程更没有让实验变得多余。每一步都把“我们已经知道什么”与“我们还需要解释什么”重新划出边界。
第七章 AI 计算中的数据搬运问题
前面谈的是电子怎样被理解。现在换一个问题：当我们让电子构成的器件替人计算时，时间和能量花在哪里？
假设有一项很普通的任务：取出一串数字，每个乘上一个权重，再把结果加起来。写成式子，不过是
$$y=w_1x_1+w_2x_2+\cdots+w_nx_n.$$
许多 AI 模型会反复做这一类乘加。式子看起来只要求乘法和加法，可一台真实计算机还得先找到 $x_i$ 和 $w_i$，把它们送到能计算的地方，再把结果送去下一步。数据的移动不是纸上算式里的一项，却是机器必须完成的工作。
1 把数字搬来搬去，也是一项工作
可以把计算单元想成一张工作台，把存储器想成放材料的柜子。若同一批材料反复使用，放在工作台附近会省下许多往返；若材料多得放不下，就必须不断取用。类比的边界也很清楚：真实芯片不是一个工人抱着箱子跑，数据靠电路传输，速度和能耗取决于距离、层级、并行方式与具体任务。但它说明了一个容易被算式遮住的事实：执行运算与把数据送到运算位置，是两种不同的成本。
现代计算机已经有缓存和各种缩短搬运距离的设计，所以不能说每做一次乘法都要去最远的存储器取数。困难在于，当任务很大、同一批权重和中间结果不断流动时，某些数据访问仍可能成为速度和能量的限制。AI 时代的大规模矩阵计算，使人们更认真地寻找把数据留在更靠近运算位置的办法。
“存算一体”就是其中一种思路：能否让存着数字的元件，也在原地承担一部分运算？这个问题没有预设唯一答案，使用电荷的器件、磁性器件以及其他材料，都有人研究。自旋进入故事，不是因为它会自动让所有计算变快，而是因为某些利用磁性的存储结构，为“边存边算”提供了可探索的物理方式。
图 8 一次乘加还涉及取数、传输和结果读出。
第八章 自旋与存算一体
把一个数字留在原处，让它所在的器件参与计算，这个想法听起来像在要求存储器兼做计算器。自旋怎样帮忙？我们不需要从一整块芯片开始，只看一种小器件就够了。
1 两层磁性材料，一种可读出的差别
想象两层很薄的磁性材料，中间隔着一层更薄的绝缘材料。电子通常不容易穿过绝缘层，但在足够薄时会发生量子隧穿。这种结构叫磁隧道结。两层材料各有一个整体的磁化方向；它们大致平行时，器件通常呈现较低的电阻，大致反平行时则呈现较高的电阻。
这里可用一个最朴素的办法存一位信息：约定低阻代表 0、高阻代表 1，或者反过来。哪一种电阻对应哪个数字，是电路的约定，不是自然界替我们写好的标签。只要磁化状态能在适当条件下保持，断电后这位信息也可以留下；再加上读写电路，就得到一类磁性存储器的基本单元。
这件事和本书的电子自旋确实有关系，但关系要说准。磁化是材料中许多电子共同形成的状态，电流穿过器件时又受到与自旋相关的材料性质影响。器件并没有抓住同一个单独电子，让它用电荷独自算完一道题、再用自旋独自存下答案。真实器件里有材料、界面、许多电子和配套电路。
图 9 两层磁化方向的关系对应可读出的电阻差别。
2 存着的状态，怎样参与一次运算
电阻不同，施加同样的电压，流过的电流就不同。若用电导 $G$ 表示“容易通过电流的程度”，在合适的工作范围内，这个关系可以简写成
$$I=VG.$$
$V$ 是输入电压，$G$ 由器件状态决定，$I$ 是读出的电流。这里出现了一次很直观的乘法：输入乘上一个存放在器件里的数，结果表现为电流。若几条支路的电流在电路中汇合，它们还可以相加。比如两条支路，就得到类似 $I_{\mathrm{out}}=V_1G_1+V_2G_2$ 的关系。与上一章的 $y=w_1x_1+w_2x_2$ 相比，你会看见同一种乘加形状。
这只是某一类存算一体方案的基本图像，不是说随便摆两个磁隧道结，就已经造出一台 AI 计算机。普通磁隧道结常用的两种阻值只能直接表达很有限的信息；若要表示更多位的权重、负权重或精确小数，必须增加器件和电路设计。读出的电流还要被放大、比较或转换，输入输出仍需在系统里移动。写入磁化状态也消耗能量，还会受到器件差异和误差的影响。
因此，存算一体值得研究的理由很具体：在适合的任务中，它有机会减少一部分数据在存储和计算单元之间的往返。它究竟能省多少，要看器件、阵列、外围电路和算法怎样一起工作，不能只看 $I=VG$ 就宣布胜利。磁性存储已经是一种重要技术；用磁性器件承担更多计算，则仍是持续发展的研究方向。
从银原子束的两道痕迹走到这里，距离很远，中间的线却没有断：我们先学会用两种测量结果描述电子的内部性质，又用更广的电子理论理解这种结构；到器件层面，许多电子的自旋相关效应可以汇成一种稳定、可读写的磁性状态。单个电子的量子态与整块材料的磁化不是同一个对象，正因为分清了它们，应用才不必靠一句漂亮却含糊的口号支撑。
图 10 两条支路的电流汇合，形成概念性的两项乘加。
结语 从两道痕迹到一套解释
如果只盯着 1922 年屏幕上的两道痕迹，我们看不到泡利矩阵；如果只盯着泡利矩阵，也不会自动想到狄拉克为何要为高速电子寻找新方程。每一步都有人先把眼前的问题问准确，然后才知道旧工具够不够用。
二分量状态把自旋测量写成了可以计算的语言：同一个电子，沿不同方向提问，始终只有两种可能结果，但概率会变；换过测量方向并选出一束，原来确定的结果还能再次分开。四分量电子方程让我们看到，这套低速语言可以从更广的理论里回来。正电子的发现又提醒我们：理论除了整理已有经验，有时还会让实验去寻找新的对象。
我觉得最值得留下的，不是一句“数学预言了一切”，也不是一句“实验总先于理论”。物理学更像一场不断改写问题的交谈：实验使某个旧说法不再够用；可计算的描述暂时搭起桥；更广的理论说明桥从哪里来，同时带来新的问题。自旋从现象走到应用，靠的正是这样一段段可以检查、也可以继续追问的连接。
